Պյութագորասի Թեորեմը

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։ Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ 
Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերըՊյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝a²+b²=c²
Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։ Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570թ.- մ.թ.ա. 495թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։






Ապացույց №1 (պարզագույն) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսին հավասարամեծ է էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին։
Պարզագույն ապացույցը ստացվում է հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում։ Դրանից էլ առաջանում էր թեորեմը։
Իսկապես, բավականին պարզ պատկեր է ստացվում եթե դիտարկենք հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների խճանկարը, որից երևում է թեորեմի ճշմարիտ լինելը։ Օրինակ՝ ΔABC համար՝ քառակուսին, որը կառուցված է АС ներքնաձիգի վրա, պարունակում է 4 եռանկյուններ, իսկ էջերի վրա կառուցված քառակուսիները պարունակում են 2-ական այդ նույն եռանկյուններից։ Թեորեմն ապացուցված է։
Ապացույց №2 Դիցուք, Т- ուղղանկյուն եռանկյունի է, որի էջերն    են а, b իսկ ներքնաձիգը с-ն։ Ապացուցենք, որ с²=а²+Ь^2։
Կառուցենք մի Q քառակուսի, որի կողմը а+Ь-է։ Այդ քառակուսու կողմերի վրա վերցնենք А, В,С, D կետերը այնպես, որ АВ, ВС, CD,DA հատվածները Q քառակուսուց անջատեն Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ եռանկյունները а և b էջերով։ ABCD քառանկյունը նշանակենք Р տառով։ Ցույց տանք, որ Р-ն с կողմով քառակուսի է։
Բոլոր Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ եռանկյունները հավասար են Т եռանկյանը (ըստ 2 էջերի)։ Այդ պատճառով նրանց ներքնաձիգերը հավասար են Т եռանկյան ներքնաձիգին, այսինքն с հատվածին։ Ապացուցենք, որ այդ քառանկյան բոլոր անկյունները ուղիղ են։
Դիցուք, α և β Т եռանկյան սուր անկյուններն են։ Ապա α + β = 90°։ Р քառանկյան A գագաթի անկյունը α և β անկյունների հետ միասին կազմում է փռված անկյուն։ α + β +A=180°՝ այստեղից անկյուն A=90°։ Նույնաբար ապացուցում ենք, որ Р քառանկյան մնացած անկյունները նույնպես ուղիղ են, հետևաբար Р-ն с կողմով քառակուսի է։
Այսպիսով, а+Ь կողմով Q քառակուսին բաղկացած է с կողմով Р քառակուսուց և 4 ուղղանկյուն եռանկյուններից, որոնք հավասար են Т եռանկյանը, նրանց մակերեսների համար կատարվում է հետևյալ հավասարությունը՝ S(Q)=S(P)+4S(T)։
Քանի որ S(Q)=(a+b)²; S(P)=c² և S(T)=½ab, ապա տեղադրելով այս արտահայտությունները S(Q)=S(P)+4S(T) հավասարությանը, կստանանք (a + b)² = c² + 4*½a*b։ Քանի որ (a+b)²=a²+b²+2ab, ապա (a+b)²=c²+4½ab հավասարությունը կարելի է գրել այսպես՝  a²+b²+2ab=c² +2ab, որտեղից հետևում է, որ с²=а²+Ь²։ Ապացույցը ավարտված է։
Ապացույց №3
Դիցուք ΔАВС  ուղղանկյուն եռանկյունի է С ուղիղ անկյունով։ С գագաթից տանենք  СD բարձրությունը։
Ըստ սուր անկյան կոսինուսի սահմանման соsА=AD/AC=AC/AB։ Այստեղից AB•AD=AC^2։ Նույն ձևով соsВ=BD/BC=BC/AB, որտեղից AB•BD=ВС^2։ Գումարելով ստացված հավասարությունները անդամ առ անդամ և նկատելով, որ AD+DB=AB կստանանք АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ^2։ Թեորեմը ապացուցված է։